已知一次函数f(x)=ax+b与二次函数g(x)=ax2+bx+c满足a>b>c,且a+b+c=0(a,b,c∈R).(1)求证:函数y=f(x)与y=g(x)
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已知一次函数f(x)=ax+b与二次函数g(x)=ax2+bx+c满足a>b>c,且a+b+c=0(a,b,c∈R).(1)求证:函数y=f(x)与y=g(x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知一次函数f(x)=ax+b与二次函数g(x)=ax
2
+bx+c满足a>b>c,且a+b+c=0(a,b,c∈R).
(1)求证:函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点A,B;
(2)设A
1
,B
1
是A,B两点在x轴上的射影,求线段A
1
B
1
长的取值范围;
(3)求证:当
x≤-
3
时,f(x)<g(x)恒成立.
答案
(1)证明:由
y=ax+b
y=a
x
2
+bx+c
得ax
2
+(b-a)x+c-b=0①
△=(b-a)
2
-4a(c-b)=(b+a)
2
-4ac
∵a>b>c,a+b+c=0
∴a>0,c<0
∴△>0
∴①有两个不等的根
∴函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个不同的交点A,B.
(2)∵a+b+c=0且a>b>c,
∴a>0,c<0.
由a>b得a>-(a+c),
∴
c
a
>-2.
由b>c得-(a+c)>c,
∴
c
a
<-
1
2
.
∴-2<
c
a
<-
1
2
.
设A
1
(x
1
,0)B
1
(x
2
,0)
∴|A
1
B
1
|=
|
x
2
-
x
1
| =
(
x
2
+
x
1
)
2
-4
x
1
x
2
=
(
a-b
a
)
2
-4
c-b
a
=
(
c
a
-2)
2
-4
,
易得
9
4
<|A
1
B
1
|
2
<12
即
3
2
<|A
1
B
1
|<2
3
.
(3)令h(x)=ax
2
+(b-a)x+c-b,
x≤-
3
,
对称轴为x=
a-b
a
=
2a+c
a
=2+
c
a
>0,
∴h(x)在(-∞,
-
3
)上单调递增,且h(
-
3
)=(2+
3
)(2a+c)=(2+
3
)a(2+
c
a
)>0
∴h(x)=ax
2
+(b-a)x+c-b≥0恒成立,
x≤-
3
,
即当
x≤-
3
时,f(x)<g(x)恒成立.
举一反三
若函数
f(x)=
(3-a)x-4, x<1
lo
g
a
x, x≥1
为(-∞,+∞)上的增函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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用定义法证明函数
f(x)=
x
2
+1
-x
在定义域内是减函数.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)的定义域为(0,+∞),当x>1时,f(x)>0,且对于任意实数x,y满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)试判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)试解不等式f(x)+f(x-2)<3.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知
f(x)=
lo
g
2
2
x-2lo
g
2
x+4,x∈[
2
,8]
(1)设
t=
lo
g
2
x
,x∈[
2
,8]
,求t的最大值与最小值;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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如果f(a+b)=f(a)•f(b),且f(1)=2,则
f(2)
f(1)
+
f(4)
f(3)
+
f(6)
f(5)
+…+
f(2006)
f(2005)
+
f(2008)
f(2007)
+
f(2010)
f(2009)
=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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