已知f(x)=x|x-a|-2.(1)当a=0时,求函数y=f(x)+1的零点;(2)若a>0,求f(x)的单调区间;(3)若当x∈[0,1]时,恒有f(x)<
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=x|x-a|-2. (1)当a=0时,求函数y=f(x)+1的零点; (2)若a>0,求f(x)的单调区间; (3)若当x∈[0,1]时,恒有f(x)<0,求实数a的取值范围. |
答案
(1)当a=0时,y=f(x)+1=f(x)=x|x|-2+1, 当x≥0⇒x2=1⇒x=1或x=-1(负舍), 当x<0⇒x2=-1不成立, 故y=f(x)+1的零点为 1 (2)f(x)=x|x-a|-2= | x2-ax-2=(x-)2-2-,x>a | -x2+ax-2=-(x=)2-2+,x≤a. |
| | 当a>0,f(x)单调递增区间(-∞,)和(a,+∞),单调递减区间[,a] (3)(i)当x=0时,显然f(x)<0成立; (ii)当x∈(0,1]时,由f(x)<0,可得x-<a<x+, 令g(x)=x-(x∈(0,1]),h(x)=x+(x∈(0,1]),则有[g(x)]max<a<[h(x)]min.由g(x)单调递增,可知[g(x)]miax=g(1)=-1.又h(x)=x+=(-)2+2(x∈(0,1])是单调减函数,故[h(x)]min=h(1)=3,故所求a的取值范围是(-1,3). |
举一反三
已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0. (Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围; (Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1,C2于点M、N,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. |
已知函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值. (2)若f(1)>0,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集. |
已知函数f(x)=,若对任意x1,x2∈R,x1≠x2,使f(x1)<f(x2)成立,则实数a的取值范围是______. |
已知函数f(x)=x2,g(x)=|x-a|. (1)当a=2时,求不等式f(x)>g(x)的解集; (2)设a>1,函数h(x)=f(x)g(x),求h(x)在x∈[1,2]上的最小值. |
已知函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值; (2)若a>1,判断函数的单调性(不需要证明); (3)若a>1,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集. |
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