某光学仪器厂有一条价值为a万元的激光器生产线,计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值.经过市场调查,产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之
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某光学仪器厂有一条价值为a万元的激光器生产线,计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值.经过市场调查,产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
某光学仪器厂有一条价值为a万元的激光器生产线,计划通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值.经过市场调查,产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足:
①y与(a-2x)•x
2
成正比;
②当
x=
a
4
时,
y=
a
3
8
,并且技术改造投入满足
x
a-x
∈(0,t]
,其中t为常数且t∈(1,2].
(I)求y=f(x)表达式及定义域;
(Ⅱ)求技术改造之后,产品增加值的最大值及相应x的值.
答案
(I)设y=k(a-2x)x
2
.
由
x=
a
4
时,
y=
a
3
8
可得k=4.
所以y=4(a-2x)x
2
.…(3分)
由
0<
x
a-x
≤t
,
解得
0<x≤
at
t+1
.
所以函数f(x)的定义域为
(0,
at
t+1
](1<t≤2)
.…(6分)
(II)由(I)知y=-8x
3
+4ax
2
,
所以
y′=-24
x
2
+8ax=-24x(x-
a
3
)
.
令y"=0得
x=
a
3
.…(8分)
因为t∈(1,2],
所以
at
t+1
-
a
3
=
2at-a
3(t+1)
=
a(2t-1)
3(t+1)
>0
,即
at
t+1
>
a
3
.
当
0<x<
a
3
时,y">0,函数y=f(x)是增函数;
当
a
3
<x≤
at
t+1
时,y"<0,函数y=f(x)是减函数.…(11分)
所以当
x=
a
3
时,函数y=f(x)取得最大值,且最大值是
4
a
3
27
.…..(13分)
所以,1<t≤2时,投入
1
3
a
万元最大增加值
4
27
a
3
万元.…(14分)
举一反三
已知f(1)=2,f(n+1)=
f(n)+1
2
(n∈N
*
),则f(4)=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=
x+
1
x
[x]•[
1
2
]+[x]+[
1
2
]+1
(x>0),其中[x]表示不超过x的最大整数,如[2]=2,
[
1
3
]
=0,[1.8]=1.
(1)求
f(
3
2
)
的值;
(2)若在区间[2,3)上存在x,使得f(x)≤k成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
f(x)=
|x|-1
的单调递增区间为______.
题型:填空题
难度:一般
|
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1
10
题型:解答题
难度:一般
|
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函数y=
x
+
3-x
的最大值为 ______.
题型:填空题
难度:一般
|
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