仔细阅读下面问题的解法:设A=[0,1],若不等式21-x-a>0在A上有解,求实数a的取值范围.由已知可得 a<21-x令f(x)=21-x,不等式a<21
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仔细阅读下面问题的解法:设A=[0,1],若不等式21-x-a>0在A上有解,求实数a的取值范围.由已知可得 a<21-x令f(x)=21-x,不等式a<21
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
仔细阅读下面问题的解法:
设A=[0,1],若不等式2
1-x
-a>0在A上有解,求实数a的取值范围.
由已知可得 a<2
1-x
令f(x)=2
1-x
,不等式a<2
1-x
在A上有解,
∴a<f(x)在A上的最大值
又f(x)在[0,1]上单调递减,f(x)
max
=f(0)=2
∴a<2即为所求.
学习以上问题的解法,解决下面的问题:
(1)已知函数f(x)=x
2
+2x+3 (-2≤x≤-1)求f(x)的反函数及反函数的定义域A;
(2)对于(1)中的A,设g(x)=
10-x
10+x
x∈A,试判断g(x)的单调性;(不证)
(3)又若B={x|
10-x
10+x
>2
x
+a-5},若A∩B≠Φ,求实数a的取值范围.
答案
(1)f(x)=(x+1)
2
+2
∵f(x)在[-2,-1]上单调递减
∴f(x)∈[2,3]
故反函数的定义域A=[2,3](2分)
令x+1=-
y-2
,x=-1-
y-2
∴f
-1
(x)=-1-
x-2
x∈[2,3](4分)
(2)g(x)=
10-x
10+x
=-1+
20
10+x
x∈[2,3]
g(x)在x∈[2,3]上单调递减 (8分)
(3)由A∩B≠Φ,⇒不等式
10-x
10+x
>2
x
+a-5在集合A上有解,
亦即不等式a<
10-x
10+x
-2
x
+5在集合A上有解,(10分)
令函数h(x)=
10-x
10+x
-2
x
+5,
a<h(x)在集合A上有解,⇒a<h(x)在集合A上的最大值
又h(x)=-1+
20
10+x
-2
x
+5=
20
10+x
-2
x
+4 在区间A上单调递减
h(x)
max
=g(2)=
5
3
⇒a<
5
3
⇒实数a的取值范围为(-∞,
5
3
) (12分)
举一反三
(文科)已知f(x)是定义在R上的奇函数,又是周期为2的周期函数,当x∈[0,1)时,f(x)=2
x
-1,则f(3,5)的值为 .
题型:填空题
难度:简单
|
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判断函数f(x)=x-
1
x
的奇偶性,单调性,并利用定义证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=x+
a
x+1
, x∈[0,+∞)
.
(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;
(2)当0<a<1时,试判断函数f(x)的单调性,并证明.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
bx+c
ax
2
+1
(a,c∈R,a>0,b
是自然数)是奇函数,f(x)有最大值
1
2
,且
f(1)>
2
5
,试求函数f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
f(x)=x+
1
x
的图象为C
1
,C
1
关于点A(2,1)的对称图形为C
2
,C
2
对应的函数为g(x):
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)若直线y=b与C
2
只有一个公共点,求b的值及交点坐标.
题型:解答题
难度:一般
|
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