已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x<0时,f(x)>0;(1)判断f(x)
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已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy),且当x<0时,f(x)>0;(1)判断f(x)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有
f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且当x<0时,f(x)>0;
(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(2)若
f(
a+b
1+ab
)=1,f(
a-b
1-ab
)=2
,且|a|<1,|b|<1,求f(a),f(b)的值.
(3)若
f(-
1
2
)=1
,试解关于x的方程
f(x)=-
1
2
.
答案
(1)令x=y=0,
∴f(0)=0,令y=-x,有f(-x)+f(x)=f(0)=0,
∴f(x)为奇函数
(2)∵
f(
a+b
1+ab
)=1,f(
a-b
1-ab
)=2
,
即
f(a)+f(b)=1
f(a)-f(b)=2
,
解得
f(a)=
3
2
,f(b)=-
1
2
.
(3)任间区间(-1,1)上两个数x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
,
则x
1
-x
2
<0,1-x
1
•x
2
>0
∴
x
1
-
x
2
1-
x
1
•x
2
<0
即f(x
1
)-f(x
2
)=f(x
1
)+f(-x
2
)=F(
x
1
-
x
2
1-
x
1
•x
2
)>0,
∴f(x)在(-1,1)上是减函数
∵
f(-
1
2
)=1∴f(
1
2
)=-1
原方程即为
2f(x)=-1⇔f(x)+f(x)=f(
2x
1+
x
2
)=f(
1
2
)
,
∴
2x
1+
x
2
=
1
2
⇔
x
2
-4x+1=0⇔x=2±
3
又∵
x∈(-1,1)∴x=2-
3
故原方程的解为
x=2-
3
.
举一反三
设函数f(x)=x
2
+|2x-a|(x∈R,a为实数).
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)设a>2,求函数f(x)的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=2x+
a
x
的定义域为(0,2](a为常数).
(1)证明:当a≥8时,函数y=f(x)在定义域上是减函数;
(2)求函数y=f(x)在定义域上的最大值及最小值,并求出函数取最值时x的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=x+
1
x
,
(Ⅰ) 证明f(x)在[1,+∞)上是增函数;
(Ⅱ) 求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
函数
y=
2
x-1
的减区间为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
定义运算a*b=
a (a≤b)
b (a>b)
,例如,1*2=1,则函数f(x)=x
2
*(1-|x|)的最大值为______.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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