已知函数f(x)=x+1x，（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x+

1

x

，
（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

答案

（I）证明：在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂（2分）
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)（1分）
=(x1-x2)•

x1x2-1

x1x2

（1分）
∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0
∵x₁∈[1，+∞），x₂∈[1，+∞）∴x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在[1，+∞）上是增函数（2分）
（II）由（I）知：
f（x）在[1，4]上是增函数
∴当x=1时，有最小值2；
当x=4时，有最大值

17

4

（2分）