已知函数f(x)=2x+ax的定义域为(0,1](a为实数).(1)求证:当a=1时,函数y=f(x)在区间[22,1]上单调递增;(2)当a>0时,函数y=f
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已知函数f(x)=2x+ax的定义域为(0,1](a为实数).(1)求证:当a=1时,函数y=f(x)在区间[22,1]上单调递增;(2)当a>0时,函数y=f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=2x+
a
x
的定义域为(0,1](a为实数).
(1)求证:当a=1时,函数y=f(x)在区间[
2
2
,1]上单调递增;
(2)当a>0时,函数y=f(x)在x∈(0,1]上是否有最大值和最小值,如果有,求出函数的最值以及相应的x的值.
答案
证明:(1)当a=1时,f(x)=2x+
1
x
.
取x
1
,x
2
∈[
2
2
,1],且x
1
<x
2
,则
x
1
-x
2
<0,
1
2
<x
1
•x
2
<1
f(x
1
)-f(x
2
)=(x
1
-x
2
)
2
x
1
•
x
2
-1
x
1
•
x
2
<0
∴f(x
1
)<f(x
2
)
所以,函数y=f(x)在区间[
2
2
,1]上单调递增
(2)当a>0时,∵f(x)=2x+
a
x
∴f′(x)=2-
a
x
2
令f′(x)=0,则x=
2
a
2
∵x∈(0,
2
a
2
]时,f′(x)≤0;x∈[
2
a
2
,+∞)时,f′(x)≥0;
∴函数y=f(x)在区间(0,
2
a
2
]上单调递减,在区间[
2
a
2
,+∞)上单调递增.
所以函数没有最大值.
当
2
a
2
≥1时,a≥2,f(x)
min
=f(1)=2+a
当
2
a
2
<1时,0<a<2,f(x)
min
=f(
2
a
2
)=2
2
a
举一反三
若关于x的方程
a
2x
+(1+
1
m
)
a
x
+1=0
,(a>0且a≠1)有解,则m的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
(理科)已知二次函数f(x)=x
2
+ax+b(a,b∈R)的定义域为[-1,1],且|f(x)|的最大值为M.
(Ⅰ)试证明|1+b|≤M;
(Ⅱ)试证明
M≥
1
2
;
(Ⅲ)当
M=
1
2
时,试求出f(x)的解析式.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
9
x
9
x
+3
,则
f(
1
7
)+f(
2
7
)+f(
3
7
)+f(
4
7
)+f(
5
7
)+f(
6
7
)
的值是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
对于函数f(x)定义域中任意的x
1
,x
2
(x
1
≠x
2
),有如下结论:
①f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)•f(x
2
);
②f(x
1
•x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
);
③
f(
x
1
)-f(
x
2
)
x
1
-
x
2
>0;
④
f(
x
1
+
x
2
2
)<
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
.
当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数
y=lo
g
1
2
(
x
2
-x-6)
的单调递增区间是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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