已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)+f(-x)=0;(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24);(3

已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)+f(-x)=0;(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24);(3

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)+f(-x)=0;
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24);
(3)如果x∈R时,f(x)<0,且f(1)=-
1
2
,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.
答案
(1)令x=y=0得f(0)=0,再令y=-x得f(-x)=-f(x),
∴f(-x)+f(x)=0.
(2)由f(-3)=af(3)=-a,∴f(24)=f(3+3++3)=8f(3)=-8a.
(3)设x1<x2,则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1
又∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0,∴f(x1)+f(x2-x1)<f(x1),
∴f(x2)<f(x1)∴f(x)在R上是减函
数,∴f(x)max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-
1
2
)=-3
举一反三
写出函数f(x)=|x-1|的单调减区间______.
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已知函数g(x)=kx+b(k≠0),当x∈[-1,1]时,g(x)的最大值比最小值大2,又f(x)=2x+3.是否存在常数k,b使得f[g(x)]=g[f(x)]对任意的x恒成立,如果存在,求出k,b.如果不存在,说明为什么?
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已知二次函数y=x2+ax+5在区间[2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是 ______.
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已知函数f(x)=
1
x2
+|x2-a|
(常数a∈R+
(Ⅰ)判断f(x)的奇偶性并说明理由;
(Ⅱ)试研究函数f(x)在定义域内的单调性,并利用单调性的定义给出证明.
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函数f(x)=x2+4ax+2在(-∞,6)内递减,则a的取值范围是______.
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