已知函数f(x)=x-1xm，f(2)=32，x∈（0，+∞）．（1）求m的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x-

1

xm

，f(2)=

3

2

，x∈（0，+∞）．
（1）求m的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

答案

（1）∵函数f(x)=x-

1

xm

，f(2)=

3

2

，x∈（0，+∞），
∴2-

1

2m

=

3

2

，
解得 m=1．------（2分）
（2）由于 m=1，故f（x）=x-

1

x

．
设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=（x₁-

1

x1

）-（x₂-

1

x2

）=（x₁-x₂ ）（

1

x2

-

1

x1

）------（4分）
=(x1-x2)×(1+

1

x1x2

)．-------（6分）
∵x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴(1+

1

x1x2

)＞0，可得(x1-x2)×(1+

1

x1x2

)＜0，-----（8分）
所以f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．-----------（10分）