已知f(x)=x|x-a|+2x-3.(Ⅰ)当a=4,2≤x≤5时,问x分别取何值时,函数f(x)取得最大值和最小值,并求出相应的最大值和最小值;(Ⅱ)若f(x

已知f(x)=x|x-a|+2x-3.(Ⅰ)当a=4,2≤x≤5时,问x分别取何值时,函数f(x)取得最大值和最小值,并求出相应的最大值和最小值;(Ⅱ)若f(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=x|x-a|+2x-3.
(Ⅰ)当a=4,2≤x≤5时,问x分别取何值时,函数f(x)取得最大值和最小值,并求出相应的最大值和最小值;
(Ⅱ)若f(x)在R上恒为增函数,试求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)当a=4时,f(x)=x|x-4|+2x-3.
(1)2≤x<4时,f(x)=x(4-x)+2x-3=-(x-3)2+6,
当x=2时,f(x)min=5;当x=3时,f(x)max=6.
(2)当4≤x≤5时,f(x)=x(x-4)+2x-3=(x-1)2-4
当x=4时,f(x)min=5;当x=5时,f(x)max=12.
综上所述,当x=2或4时,f(x)min=5;当x=5时,f(x)max=12.
(Ⅱ)f(x)=





x2+(2-a)x-3,x≥a
-x2+(2+a)x-3,x<a
=





(x-
a-2
2
)
2
-
(a-2)2
4
-3,x≥a
-(x-
a+2
2
)
2
+
(a+2)2
4
-3,x<a

f(x)在R上恒为增函数的充要条件是





a-2
2
≤a
a+2
2
≥a
,解得-2≤a≤2.
举一反三
(1)设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d,其中a、b、c、d是常数.如果f(1)=10,f(2)=20,f(3)=30,求f(10)+f(-6)的值;
(2)若不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立,求x的取值范围.
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下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是______.
①y=3-2x   ②y=x2-1   ③y=
1
x
④y=-|x|
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已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.
(1)写出函数g(x)的解析式;
(2)当x∈[0,1)时,总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-3,则f(-2)=______.
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已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a>0)在区间[2,3]上的值域为[2,5]
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若关于x的函数g(x)=f(x)-(m+1)x在区间[2,4]上为单调函数,求实数m的取值范围.
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