已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,则正数a的范围______.
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,则正数a的范围______. |
答案
∵f(x)=x2(ax-3)=ax3-3x2,∴f"(x)=3ax2-6x, ∴g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a-3)x2-6x ∴g"(x)=f"(x)=3ax2+6(a-1)x-6, 令g"(x)=0,方程的另个根为x1,2=,因为a是正数,所以x1x2==-<0, 即<0,>0 又g(0)=0,g(2)=20a-24, 当0<≤2时,a≥,由于g(x)在区间[0,2]先减后增, 当g(0)=0≥g(2)=20a-24时,a≤ ∴≤a≤ 当>2即a<时,由于g(x)在区间[0,2]减, 显然有g(0)=0>g(2)=20a-24成立,解得a< ∴a< 综上所述,0<a≤ 故答案为:0<a≤ |
举一反三
已知函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,并且在[-1,1]上f(x)是增函数,求满足条件f(1-a)+f(1-a2)≤0的a的取值范围. |
已知定义域为R的函数f(x)为奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1.(1)求f(x)在[-1,0)上的解析式;(2)求f(log24). |
已知函数f(x)=x+,且此函数图象过点(1,5). (1)求实数m的值; (2)判断f(x)奇偶性; (3)讨论函数f(x)在[2,+∞)上的单调性?并证明你的结论. |
已知f(x)=loga,(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域. (2)证明f(x)为奇函数. (3)求使f(x)>0成立的x的取值范围. |
已知函数f(x)=ln (Ⅰ)求函数的定义域,并证明f(x)=ln在定义域上是奇函数; (Ⅱ)若x∈[2,6]f(x)=ln>ln恒成立,求实数m的取值范围; (Ⅲ)当n∈N*时,试比较f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)与2n+2n2的大小关系. |
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