定义在[1，4]上的函数f（x）=x2-2bx+5（Ⅰ）b=2时，求函数的最值；（Ⅱ）若函数f（x）是单调函数，求b的取值范围．（III）若函数f（x）不是单调
题型：解答题难度：一般来源：不详
定义在[1，4]上的函数f（x）=x2-2bx+5
（Ⅰ）b=2时，求函数的最值；
（Ⅱ）若函数f（x）是单调函数，求b的取值范围．
（III）若函数f（x）不是单调函数，求b的取值范围． |
答案
（Ⅰ）b=2，时f（x）=x2-4x+5=（x-2）2+1
又x∈[1，4]，f（x）的对称轴为x=2，
所以f（x）max=f（4）=5，f（x）min=f（2）=1，
（Ⅱ）当函数f（x）是单调函数时，有两种情况：
①f（x）在[1，4]上是增函数时，对称轴为x=b，
∴b≤1
②f（x）在[1，4]上是减函数时，对称轴为x=b，
∴b≥4，
∴函数f（x）是单调函数，b的取值范围是（-∞，1]∪[4，+∞）
（III）当函数f（x）在[1，4]上不是单调函数，对称轴为x=b，
∴1＜b＜4，
∴函数f（x）不是单调函数，b的取值范围为（1，4）； |
举一反三
已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．又f（1）=-2．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值；
（3）解关于x的不等式f（ax2）-2f（x）＜f（ax）+4． |
| 已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f（f（））的值是______． |
| 函数y=lg（4+3x-x2）的单调增区间为______． |
已知函数y=f（x）的定义域是（-∞，+∞），考察下列四个结论：
①若f（-1）=f（1），则f（x）是偶函数；
②若f（-1）＜f（1），则f（x）在区间[-2，2]上不是减函数；
③若f（-1）•f（1）＜0，则方程f（x）=0在区间（-1，1）内至少有一个实根；
④若|f（x）|=|f（-x）|，x∈R，则f（x）是奇函数或偶函数．
其中正确结论的序号是 ______（填上所有正确结论的序号） |
f（x）是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（-1）=2．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在[-2，4]上的最值． |
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