设f(x)的定义域为(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(m•n)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(12)=-1.(1)求f(2)的值;
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设f(x)的定义域为(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(m•n)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(12)=-1.(1)求f(2)的值;
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
设f(x)的定义域为(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(m•n)=f(m)+f(n),且当x>1时,
f(x)>0,f(
1
2
)=-1
.
(1)求f(2)的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解关于x的不等式
f(x)≥2+f(
3
x-4
)
.
答案
(1)对于任意正实数m,n;恒有f(mn)=f(m)+f(n)
令m=n=1,f(1)=2f(1)∴f(1)=0,
又∵
f(
1
2
)=-1
再令
m=2,n=
1
2
,得
f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)
∵
f(
1
2
)=-1∴f(2)=1
(2)令0<x
1
<x
2
,则
x
2
x
1
>1
∵当x>0时,
f(x)>0∴f(
x
2
x
1
)>0
∵f(mn)=f(m)+f(n)
∴f(
x
2
)-f(
x
1
)=f(
x
1
•
x
2
x
1
)-f(
x
1
)
=
f(
x
1
)+f(
x
2
x
1
)--f(
x
1
)=f(
x
2
x
1
)>0
∴f(x
2
)>f(x
1
)
∴f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
(3)∵f(mn)=f(m)+f(n)f(2)=1
∴f(4)=2f(2)=2
2+f(
3
x-4
)
=
f(4)+f(
3
x-4
)=f(
12
x-4
)
∴原不等式可化为
f(x)≥f(
12
x-4
)
,又∵f(x)在区间(0,+∞)上是增函数
∴
x≥
12
x-4
x>0
12
x-4
>0
∴
-2≤x<4或x≥6
x>0
x>4
∴x≥6
举一反三
设f(x)=
lo
g
1
2
(
1-ax
x-1
)
为奇函数,a为常数,
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)证明:f(x)在(1,+∞)内单调递增;
(Ⅲ)若对于[3,4]上的每一个x的值,不等式f(x)>
(
1
2
)
x
+m恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若函数f(x)=
1
2
x
+1
,则该函数在(-∞,+∞)上是( )
A.单调递减无最小值
B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值
D.单调递增有最大值
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
设函数
f(x)=
1
2
x-1
(x≥0)
1
x
(x<0)
若f(a)=a,则实数a的值为( )
A.±1
B.-1
C.-2或-1
D.±1或-2
题型:单选题
难度:简单
|
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定义在[1,4]上的函数f(x)=x
2
-2bx+5
(Ⅰ)b=2时,求函数的最值;
(Ⅱ)若函数f(x)是单调函数,求b的取值范围.
(III)若函数f(x)不是单调函数,求b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0,f(x)<0.又f(1)=-2.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值;
(3)解关于x的不等式f(ax
2
)-2f(x)<f(ax)+4.
题型:解答题
难度:一般
|
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