已知f(x)=x+ax2+bx+1(-1≤x≤1)为奇函数.(1)求a、b值;(2)判断f(x)的单调性并用定义证明.

已知f(x)=x+ax2+bx+1(-1≤x≤1)为奇函数.(1)求a、b值;(2)判断f(x)的单调性并用定义证明.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=
x+a
x2+bx+1
(-1≤x≤1)为奇函数.
(1)求a、b值;
(2)判断f(x)的单调性并用定义证明.
答案
(1)∵知f(x)=
x+a
x2+bx+1
(-1≤x≤1)为奇函数
∴f(0)=0
∴a=0,
又f(-1)=-f(1)
∴b=0
则a=0,b=0;
(2)分析可得f(x)=
x
x2+1
是增函数.
证明,任取x1,x2∈[-1,1]且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
<0
∴是增函数.
举一反三
下列判断:①定义在R上的函数f(x),若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2),则f(x)是偶函数;
②定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则f(x)在R上不是减函数;
③定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是减函数,在区间(0,+∞)上也是减函数,则f(x)在R上是减函数;
④既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个.
其中正确命题的个数是 ______个.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
定义在R上的函数f(x)满足f(x)=





log4(4-x)x≤0
f(x-1)-f(x-2)x>0
,若f(3)=log2m,则m=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
f(x)是定义在实数有R上的奇函数,若x≥0时,f(x)=log3(1+x),则f(-2)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3x-1
+a
,(a≠0)为奇函数,则方程f(x)=
5
6
的解x=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设在[0,1]上的函数f(x)的曲线连续,且f′(x)>0,则下列一定成立的是(  )
A.f(0)<0B.f(1)>0C.f(1)>f(0)D.f(1)<f(0)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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