已知函数f（x）=x|x-2|．（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x|x-2|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值． |
答案
（1）函数f（x）=x|x-2|= | | x2-2x=(x-1)2-1 x≥2 | | -x2+2x=-(x-1)2+1 x＜2 |
| |
∴f（x）的单调增区间是（-∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．
（2）f（x）＜3，即 x|x-2|＜3，∴或，
∴2≤x＜3 或 x＜2∴不等式f（x）＜3的解集为{x|2≤x＜3 或 x＜2 }．
（3） 当0＜a1 时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的
上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
．当1＜a≤2 时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时，
此时f（x）在[0，a]上的上的最大值是 f（1）=1．
综上，当0＜a1 时，此时f（x）在[0，a]上的 上的最大值是 f（a）=a（2-a）．
当1＜a≤2 时，f（x）在[0，a]上的 上的最大值是1． |
举一反三
| 定义在R上的函数f（x）满足关系f(+x)+f(-x)=2，则f()+f()+…f()的值等于 ______． |
定义在R上的函数f（x）满足条件：f（x+4）=f（x），当x∈[2，6]时，f(x)=()|x-m|+n，且f（4）=31．
（1）求证：f（2）=f（6）；（2）求m，n的值；（3）比较f（log3m）与f（log3n）的大小． |
| 已知奇函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），且当x∈（0，2）时，有f（x）=log2x，则f（2013）=______． |
| 定义F（a，b）=(a+b+|a-b|），若f（x）=x2，g（x）=-x+2，则 F（f（x），g（x））的最小值为______． |
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