已知a∈R，函数f （x）=-13x3+12ax2+2ax （x∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；（Ⅱ）函数f （x）能否在R上单调递减

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知a∈R，函数f （x）=-

1

3

x³+

1

2

ax²+2ax （x∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间；
（Ⅱ）函数f （x）能否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；若不能，请说明理由；
（Ⅲ）若函数f （x）在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2x，
∴f"（x）=-x²+x+2，（2分）
令f"（x）＞0，即-x²+x+2＞0，解得-1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，2）；（5分）
（Ⅱ）若函数f（x）在R上单调递减，则f"（x）≤0对x∈R都成立，
即-x2+ax+2a≤0对x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0对x∈R都成立．（7分）
∴△=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0．
∴当-8≤a≤0时，函数f（x）能在R上单调递减；（10分）
（Ⅲ）∵函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f"（x）≥0对x∈[-1，1]都成立，∴-x2+ax+2a≥0对x∈[-1，1]都成立．
∴a（x+2）≥x2对x∈[-1，1]都成立，即a≥

x2

x+2

对x∈[-1，1]都成立．（12分）
令g（x）=

x2

x+2

，则g"（x）=

2x(x+2)-x2

(x+2)2

=

x(x+4)

(x+2)2

．
当-1≤x＜0时，g"（x）＜0；当0≤x＜1时，g"（x）＞0．
∴g（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增．
∵g（-1）=1，g（1）=

1

3

，∴g（x）在[-1，1]上的最大值是g（-1）=1，∴a≥1．（15分）