(1)令m=n=1,则f(1)=f(1)+f(1), ∴f(1)=0(2分) 令m=2,n=,则f(1)=f(2×)=f(2)+f(), ∴f()=f(1)-f(2)=-1(4分)
(2)设0<x1<x2,则>1 ∵当x>1时,f(x)>0 ∴f()>0(6分) f(x2)=f(x1×)=f(x1)+f()>f(x1)(9分) 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数(10分)
(3)∵y=4sinx的图象如右图所示
又f(4)=f(2×2)=2,f(16)=f(4×4)=4 由y=f(x)在(0,+∞)上单调递增, 且f(1)=0,f(16)=4可得y=f(x)的图象大致形状如右图所示, 由图象在[0,2π]内有1个交点, 在(2π,4π]内有2个交点, 在(4π,5π]内有2个交点,又5π<16<6π, 后面y=f(x)的图象均在y=4sinx图象的上方. 故方程4sinx=f(x)的根的个数为5个(16分) |