已知定义域为[0,1]的函数同时满足以下三个条件:①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1

已知定义域为[0,1]的函数同时满足以下三个条件:①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义域为[0,1]的函数同时满足以下三个条件:①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
(1)求f(0)的值;
(2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明;
(3)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0
答案
(1)由①知:f(0)≥0;由③知:f(0+0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0;
∴f(0)=0
(2 ) 证明:由题设知:g(1)=2-1=1;
由x∈[0,1]知2x∈[1,2],得g(x)∈[0,1],有g(x)≥0;
设x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则2x1≥12x2≥1
g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=(2x1+x2-1)-[(2x1-1)+(2x2-1)]=(2x1-1)(2x2-1)≥0
即g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2
∴函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上同时适合①②③.
(3)证明:若f(x0)>x0,则由题设知:f(x0)-x0∈[0,1],且由①知f[f(x0)-x0]≥0,
∴由题设及③知:x0=f(f(x0))=f[(f(x0)-x0)+x0]=f[f(x0)-x0]+f(x0)≥f(x0
矛盾;
若f(x0)<x0,则则由题设知:x0-f(x0)∈[0,1],且由①知f[x0-f(x0)]≥0,
∴同理得:f(x0)=f[(x0-f(x0))+f(x0)]=f[x0-f(x0)]+f(f(x0))≥f(f(x0))=x0,矛盾;
故由上述知:f(x0)=x0
举一反三
讨论并证明函数f(x)=x+
1
x
在(0,+∞)上的单调性.
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设函数f(x)的定义域是(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.
(1)求f(
1
2
)
的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)求方程4sinx=f(x)的根的个数.
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函数y=x2-4x+3在闭区间[-1,m]上有最大值8,则实数m的值不可能的是(  )
A.0B.2C.4D.6
题型:单选题难度:一般| 查看答案
根据图象写出函数y=f(x)的单调区间:增区间______;减区间:______.魔方格
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)+f(x)=0,若f(1)=2,则f(2012)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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