设a＞0，f(x)=2xa+a2x是R上的偶函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

设a＞0，f(x)=

2x

a

+

a

2x

是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

答案

（1）∵a＞0，f(x)=

2x

a

+

a

2x

是R上的偶函数．
∴f（-x）=f（x），即

2-x

a

+

a

2-x

=

2x

a

+

a

2x

，
∴

1

a•2x

+a•2^x=

2x

a

+

a

2x

，
2^x（a-

1

a

）+

1

2x

（a-

1

a

）=0，
∴（a-

1

a

）（2^x+

1

2x

）=0，∵2^x+

1

2x

＞0，a＞0，
∴a-

1

a

=0，解得a=1，或a=-1（舍去），
∴a=1；
（2）证明：由（1）可知f(x)=2x+

1

2x

，
∴f′(x)=2xln2-

2xln2

22x

=2xln2(1-

1

22x

)=2xln2(

22x-1

22x

)
∵x＞0，
∴2^2x＞1，
∴f"（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；