设函数f（x）=2x+a•2-x-1（a为实数）．（1）若a＜0，用函数单调性定义证明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；（2）若a=0，y=g（x）的图
题型：解答题难度：一般来源：不详
设函数f（x）=2x+a•2-x-1（a为实数）．
（1）若a＜0，用函数单调性定义证明：y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若a=0，y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于直线y=x对称，求函数y=g（x）的解析式． |
答案
（1）设任意实数x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(2x1+a•2-x1-1)-(2x2+a•2-x2-1)=(2x1-2x2)+a(2-x1-2-x2)=(2x1-2x2)•
∵x1＜x2，∴2x1＜2x2，∴2x1-2x2＜0；
∵a＜0，∴2x1+x2-a＞0．
又2x1+x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，所以f（x）是增函数．
（2）当a=0时，y=f（x）=2x-1，所以2x=y+1，所以x=log2（y+1），y=g（x）=log2（x+1）． |
举一反三
已知a＞0，b＞0，则f（x）=+(0＜x＜1)的最小值是（ ）| A．4ab | B．2（a2+b2） | C．（a+b）2 | D．（a-b）2 |
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已知f(x)=，则下列正确的是（ ）| A．奇函数，在R上为增函数 | B．偶函数，在R上为增函数 | | C．奇函数，在R上为减函数 | D．偶函数，在R上为减函数 |
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| 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为______． |
设函数y=f（x）（x∈R）的图象关于直线x=0及直线x=1对称，且x∈[0，1]时，f（x）=x2，则f(-)=
（ ） |
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