已知定义在实数集R上的偶函数f(x)上在(0,+∞)为单调增函数.(1)判别f(x)在(-∞,0]上的单调性并加以证明;(2)若f(1)<f(log3(x-2)
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已知定义在实数集R上的偶函数f(x)上在(0,+∞)为单调增函数. (1)判别f(x)在(-∞,0]上的单调性并加以证明; (2)若f(1)<f(log3(x-2)),求x的取值范围. |
答案
(1)f(x)在(-∞,0]上为单调减函数,理由如下: 任取区间(-∞,0]上两个数a,b,且a<b≤0 则0≤-b<-a ∵函数f(x)上在(0,+∞)为单调增函数 ∴f(-b)<f(-a) 又∵函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数 ∴f(-b)=f(b),f(-a)=f(a) 故f(b)<f(a) 即f(x)在(-∞,0]上为单调减函数 (2)由(1)中结论 f(1)<f(log3(x-2))可化为: log3(x-2)>1,或log3(x-2)<-1 即x-2>3或0<x-2< 解得:x>5或2<x< 故x的取值范围为:x>5或2<x<. |
举一反三
定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x+6)=f(x),若f(1)=2010,f(2009)+f(2010)得值等于( ) |
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-a2)>f(2a),则实数a的取值范围是______. |
设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述命题:①f(x)有最小值;②当a=0时,f(x)的值域为R;③若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是a≥-4.则其中正确的命题的序号是______. |
已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x). |
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