指出函数f(x)=x+1x在（-∞，-1]，[-1，0）上的单调性，并证明之．

题型：解答题难度：一般来源：不详

指出函数f(x)=x+

1

x

在（-∞，-1]，[-1，0）上的单调性，并证明之．

答案

f（x）在（-∞，-1]上单调递增，在[-1，0）上单调递减，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，-1]且x₁＜x₂，
则

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(x2+ 1 x2 )-(x1+ 1 x1 )

x2-x1

=1-

1

x1x2

，
由x₁＜x₂≤-1，知x₁x₂＞1，∴1-

1

x1x2

＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函数；
当-1≤x₁＜x₂＜0时，有0＜x₁x₂＜1，得1-

1

x1x2

＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在[-1，0）上是减函数．