如图所示，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ（1）求△ABC的面积f（θ）与正方形面积g（θ）；（2）当θ变化时，

题型：解答题难度：一般来源：不详

如图所示，在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB=a，∠ABC=θ
（1）求△ABC的面积f（θ）与正方形面积g（θ）；
（2）当θ变化时，求

f(θ)

g(θ)

的最小值．

答案

（1）由题得：AC=atanθ
∴f（θ）=

a²tanθ（0＜θ＜

）
设正方形的边长为x，则BG=

sinθ

，由几何关系知：∠AGD=θ
∴AG=xcosθ 由BG+AG=a⇒

sinθ

+xcosθ=a⇒x=

asinθ

1+sinθcosθ

∴g（θ）=

a2sin2θ

(1+sinθcosθ)2

（0＜θ＜

）
（2）

f(θ)

g(θ)

(1+sinθcoθ)2

2sinθcosθ

=1+

sin2θ

令：t=sin2θ
∵0＜θ＜

∴t∈（0，1]∴y=1+

=1+

（t+

）∵函数y=1+

（t+

）在（0，1]递减
∴y_min=

（当且仅当t=1即θ=

时成立）
∴当θ=

时，

f(θ)

g(θ)

的最小值为

．

举一反三

下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）

A．y=x³

B．y=x^-1

C．y=x²

D．y=x^-2

题型：单选题难度：简单| 查看答案

已知函数f（x）=2x²-3x+1，g（x）=ksin（x-

），（k≠0）．
（1）问α去何值时，方程f（sinx）=α-sinx在[0，2π]上有两解；
（2）若对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数k的取值范围？

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（-

）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立？若成立，求出k的取值范围，若不成立，说明理由．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP=x，EF=y，那么下列结论中正确的是（　　）

A．y是x的增函数

B．y是x的减函数

C．y随x先增大后减小

D．无论x怎样变化，y是常数

题型：单选题难度：简单| 查看答案

函数f（x）=

x+2，(x≤-1)

x2，(-1＜x＜2)

2x，(x≥2)

，则f[f(-

)]=______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案