已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R);(1)求证:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上均为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值;(3)在(2)

已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R);(1)求证:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上均为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值;(3)在(2)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=a-
1
2x+1
(x∈R)

(1)求证:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上均为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值.
答案
(1)证明:f(x)的定义域为R,任取x1<x2
f(x1)-f(x2)=a-
1
2x1+1
-(a-
1
2x2+1
)
=
2x1-2x2
(1+2x1)(1+2x2)

∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以,无论a为何实数,f(x)总为增函数.
(2)因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即a-
1
20+1
=0

解得a=
1
2

(3)由(2)知,f(x)=
1
2
-
1
2x+1
(x∈R)

由(1)知f(x)为区间[1,5]上的增函数,
所以f(x)在[1,5]上的最小值为f(1)=
1
6
,最大值为f(5)=
31
66
举一反三
下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是(  )
A.y=3-xB.y=
1
x
C.-x2+4D.y=|x|
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设f(x)=





ex(x≤0)
ln x(x>0)
,则f[f(
1
3
)]=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
作出函数f(x)=





3-x2,x∈[-1,2]
x-3,x∈(2,5]
的图象,并写出单调递减区间.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数y=f(x)在R上单调递减且f(2m)>f(1+m),则实数m的取值范围是(  )
A.(-∞,-1)B.(-∞,1)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数y=


x-5
+2


6-x
的最大值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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