已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(2+x)=f(2-x).(Ⅰ)证明:f(x+4)=f(x);(Ⅱ)当x∈(4,6)时,f(x)=x2-x-2x-
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已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(2+x)=f(2-x).(Ⅰ)证明:f(x+4)=f(x);(Ⅱ)当x∈(4,6)时,f(x)=x2-x-2x-
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(2+x)=f(2-x).
(Ⅰ)证明:f(x+4)=f(x);
(Ⅱ)当x∈(4,6)时,f(x)=
x
2
-x-2
x-3
.讨论函数f(x)在区间(0,2)上的单调性.
答案
(Ⅰ)因为函数f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x),(1)(2分)
又f(2+x)=f(2-x)⇒f(2+2+x)=f(2-2-x)⇒f(4+x)=f(-x)(2)
由(1)、(2)得f(x+4)=f(x)(5分)
(Ⅱ)因为当x∈(4,6)时,f(x)=
x
2
-x-2
x-3
当0<x<2时,4<x+4<6,
由(Ⅰ)知f(x)=f(x+4)
=
(x+4)
2
-(x+4)-2
x+4-3
=
x
2
+7x+10
x+1
(7分)
f′(x)=
x
2
+2x-3
(x+1)
2
(9分)
令f′(x)=0,得x=-3或x=l,因为0<x<2,所以x=1.
因为x∈(0,1)时,f′(x)<O,x∈(1,2)时,f′(x)>O,
所以函数以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,2)内单调递增.(12分)
举一反三
已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(8.5)等于( )
A.-0.5
B.0.5
C.-1.5
D.1.5
题型:单选题
难度:简单
|
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已知
f(x)=
f(x+1),x<4
(
1
2
)
x
,x≥4
,则f(log
2
3)=( )
A.
1
12
B.
1
24
C.
1
4
D.
1
2
题型:单选题
难度:一般
|
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求证:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.
题型:解答题
难度:一般
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A.0
B.2
C.4
D.6
题型:单选题
难度:一般
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函数y=|2
-x
-2|的单调增区间为______.
题型:填空题
难度:一般
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