已知定义域为R的奇函数f(x)=-2x+b2x+1+a(Ⅰ)求a,b的值(Ⅱ)判定函数f(x)的单调性,并用定义证明.
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已知定义域为R的奇函数f(x)=-2x+b2x+1+a(Ⅰ)求a,b的值(Ⅱ)判定函数f(x)的单调性,并用定义证明.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的奇函数f(x)=
-
2
x
+b
2
x+1
+a
(Ⅰ)求a,b的值
(Ⅱ)判定函数f(x)的单调性,并用定义证明.
答案
(Ⅰ)∵f(x)是R上奇函数
由f(0)=0即
-1+b
2+a
=0得b=1
(1分)
又由
f(-x)=-f(x)即
-
2
-x
+1
2
-x+1
+a
=-
-
2
x
+1
2
x+1
+a
,解得a=2(5分)
(Ⅱ)由
f(x)=
-
2
x
+1
2
x+1
+2
=
1
2
x
+1
-
1
2
(6分)
∵2
x
为增函数,∴f(x)是R上的减函数(7分)
证明:设x
1
<x
2
,
f(
x
1
)-f(
x
2
)=
1
2
x
1
+1
-
1
2
x
2
+1
=
2
x
2
-
2
x
1
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
(10分)
∵
x
1
<
x
2
∴
2
x
1
<
2
x
2
2
x
2
-
2
x
1
>0
(11分)
∵
2
x
1
+1>0,
2
x
2
+1>0
∴
2
x
2
-
2
x
1
(
2
x
1
+1)(
2
x
2
+1)
>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,∴f(x
1
)>f(x
2
)(12分)
∴f(x)是R上的减函数(13分)
举一反三
已知函数y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=3
x
-1,设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-8)=______
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x
2t
-2t(x
2
+x)+x
2
+2t
2
+1,g(x)=
1
2
f(x).
(I)证明:当t<2
2
时,g(x)在R上是增函数;
(Ⅱ)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,当t>k时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;
(Ⅲ)证明:f(x)≥
3
2
.
题型:解答题
难度:一般
|
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某造船公司年造船量最多20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x
2
-10x
3
(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+500(单位:万元).
(1)求利润函数p(x);(提示:利润=产值-成本)
(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
(3)在经济学中,定义函数f(x)的边际函数Mf(x)=f(x+1)-f(x).求边际利润函数Mp(x),并求Mp(x)单调递减时x的取值范围;试说明Mp(x)单调递减在本题中的实际意义是什么?(参考公式:(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
)
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)=2
x
+p,(p为常数且p∈R).
(1)若f(3)=5,求f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,解方程:f
-1
(x)=2+log
2
x
2
.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)=
x
+2
x
+1og
2
x中,若f(a)=
3
2
2
-1,则a=( )
A.
1
4
B.
1
2
C.2
D.4
题型:单选题
难度:简单
|
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