函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+ f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求证：f（x）是R上的增函数； （2）若 f（

题型：解答题难度：一般来源：陕西省期末题

函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+ f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）是R上的增函数；
（2）若 f（4）=5，解不等式f（3m²﹣m﹣2）＜3．

答案

解：（1）证明：任取x₁＜x₂， ∴x₂﹣x₁＞0．
∴f（x₂﹣x₁）＞1．
∴f（x₂）=f [x₁+（x₂﹣x₁）] =f（x₁）+f（x₂﹣x₁）﹣1＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函数．
（2）∵f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，
∴f（2）=3． ∴f（3m²﹣m﹣2）＜3=f（2）．
又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
∴3m²﹣m﹣2＜2， 3m²﹣m﹣4＜0，
∴﹣1＜m＜ ．