函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且当x＞0时，f(x)＞1，(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5，解

题型：解答题难度：一般来源：同步题

函数f(x)对任意a，b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且当x＞0时，f(x)＞1，
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)=5，解不等式f(3m²-7)＜3．

答案

(1)证明：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1，
∴f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁+x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1，
∵x₂-x₁＞0，由x＞0时，f(x)＞1，
∴f(x₂-x₁)＞1，
∴f(x₂-x₁)-1＞0，
∴f(x₂)-f(x₁)＞0，
∴f(x₂)＞f(x₁)，
∴f(x)是R上的增函数．
(2)解：∵f(a+b)=f(a)+f(b)-1，
∴f(4)=f(2)+f(2)-1=5，
∴f(2)=3，
∵f(3m²-7)＜3，
∴f(3m²-7)＜f(2)，
∵f(x)是R上的增函数，则3m²-7＜2，
∴m²＜3，
∴，
∴不等式的解集为{m|}。