已知函数(x∈R)。(1)求证：不论a为何值，f(x)在R上均为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求a的值；(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，4]上

题型：解答题难度：一般来源：0125 竞赛题

已知函数(x∈R)。
(1)求证：不论a为何值，f(x)在R上均为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1，4]上的最大值和最小值。

答案

（1）证明：任取，且，则有
， ①
， ②
由②-①，得
 
，③
又y=2^x在R上为增函数，且，
∴③中，∴，
∴，
∴不论a为何值，f(x)在R上均为增函数。
（2）函数定义在R上，且是奇函数，
∴f(0)=0，即有，
∴a=1。
（3）在（2）的条件下有，
又由（1）知在R上为增函数，
所以，在[1，4]上为增函数，
∴，
。