已知函数(x∈R)。(1)求证:不论a为何值,f(x)在R上均为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值;(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,4]上

已知函数(x∈R)。(1)求证:不论a为何值,f(x)在R上均为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值;(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,4]上

题型:解答题难度:一般来源:0125 竞赛题
已知函数(x∈R)。
(1)求证:不论a为何值,f(x)在R上均为增函数;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,4]上的最大值和最小值。
答案
(1)证明:任取,且,则有
, ①
, ②
由②-①,得
 
,③
又y=2x在R上为增函数,且
∴③中,∴

∴不论a为何值,f(x)在R上均为增函数。
(2)函数定义在R上,且是奇函数,
∴f(0)=0,即有
∴a=1。
(3)在(2)的条件下有
又由(1)知在R上为增函数,
所以,在[1,4]上为增函数,

举一反三
已知函数
(1)判断函数f(x)在(-∞,2)上的单调性,并用定义给予证明;
(2)若有零点,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示,则在(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性不同的是

[     ]

A.y=x2+1
B.y=|x|+1
C.y=
D.y=
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是减函数,若f(lgx)>f(1),则x的取值范围是

[     ]

A.(,1)
B.(0,)∪(1,+∞)
C.(,10)
D.(0,1)∪(10,+∞)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则下列各式成立的是[     ]
A、f(-2)>f(0)>f(1)
B、f(-2)>f(1)>f(0)
C、f(1)>f(0)>f(-2)
D、f(1)>f(-2)>f(0)
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(a)≤f(2),则实数a的取值范围是

[     ]

A.a≤2
B.a≥-2
C.-2≤a≤2
D.a≤-2或a≥2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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