对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]D，使f（x）在[a，b] 上的值域为[a，b]

题型：解答题难度：困难来源：期中题

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]D，使f（x）在[a，b] 上的值域为[a，b] ；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数。
（1）求闭函数符合条件②的区间[a，b] ；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）判断函数是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围。

答案

解：（1）由题意，在[a，b]上递减，则
解得，所以所求区间为[-1，1]
（2）取则，则f（x）不是（0，+∞）上的减函数。
取，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数
所以函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。
（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]
即∴a、b为方程的两个实根，
即方程由两个不等的实根。
当k≤-2时，有，解得
当k＞-2时，有，无解。
综上所述，k∈（-，2].