若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，且当x＜0时，f(x)＞1。（1）求证：f(x)＞0；（2）求证：f(x)为减函数；（3

题型：解答题难度：困难来源：同步题

若非零函数f(x)对任意实数a，b均有f(a+b)=f(a)·f(b)，且当x＜0时，f(x)＞1。
（1）求证：f(x)＞0；
（2）求证：f(x)为减函数；
（3）当时，解不等式。

答案

解：（1），
又若f(x₀)=0，
则f(x)=f(x-x₀+x₀)=f(x-x₀)f(x₀)=0与已经矛盾，故 f(x)＞0。
（2）设，则，
又∵f(x)为非零函数，
∴，
∴f(x)为减函数。
（3）由，由（1），
原不等式转化为，
结合（2）得：，
故不等式的解集为。