(满分16分)已知函数,其中是自然对数的底数.(1)证明:是上的偶函数;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;(3)已知正数满足:存在,使得成立,试
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(满分16分)已知函数,其中是自然对数的底数.(1)证明:是上的偶函数;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围;(3)已知正数满足:存在,使得成立,试
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
(满分16分)已知函数
,其中
是自然对数的底数.
(1)证明:
是
上的偶函数;
(2)若关于
的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围;
(3)已知正数
满足:存在
,使得
成立,试比较
与
的大小,并证明你的结论.
答案
(1)证明见解析;(2)
;(3)当
时,
,当
时,
,当
时,
.
解析
试题分析:
试题解析:(1)证明:函数
定义域为
,∵
,∴
是偶函数.
(2)由
得
,由于当
时,
,因此
,即
,所以
,令
,设
,则
,
,∵
,∴
(
时等号成立),即
,
,所以
.
(3)由题意,不等式
在
上有解,由
得
,记
,
,显然
,当
时,
(因为
),故函数
在
上增函数,
,于是
在
上有解,等价于
,即
.考察函数
,
,当
时,
,当
时,
,当
时
,即
在
上是增函数,在
上是减函数,又
,
,
,所以当
时,
,即
,
,当
时,
,,即
,
,因此当
时,
,当
时,
,当
时,
.
【考点】(1)偶函数的判断;(2)不等式恒成立问题与函数的交汇;(3)导数与函数的单调性,比较大小.
举一反三
奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,则f(1)=1,则f(8)+f(9)= ( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
对于函数
,若存在常数
,使得
取定义域内的每一个值,都有
,则称
为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
在定义域上为奇函数,则实数
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
如果
为偶函数,满足在区间
上是增函数且最小值是4,那么
在区间
上是( )
A.增函数且最小值是
B.增函数且最大值是
C.减函数且最小值是
D.减函数且最大值是
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
是定义在区间-2,2上的偶函数,当
时,
是减函数,如果不等式
成立,则实数
的取值范围( )
A.
B.1,2
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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