已知是定义在上的奇函数,当时,,则,在上所有零点之和为( )A.7B.8 C.9D.10
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已知是定义在上的奇函数,当时,,则,在上所有零点之和为( )A.7B.8 C.9D.10
题型:单选题
难度:简单
来源:不详
已知
是定义在
上的奇函数,当
时,
,则
,在
上所有零点之和为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
答案
B
解析
试题分析:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).又∵函数g(x)=xf(x)-1,∴g(-x)=(-x)f(-x)-1=(-x)[-f(x)]-1=xf(x)-1=g(x),∴函数g(x)是偶函数,∴函数g(x)的零点都是以相反数的形式成对出现的.∴函数g(x)在[-6,6]上所有的零点的和为0,∴函数g(x)在[-6,+∞)上所有的零点的和,即函数g(x)在(6,+∞)上所有的零点之和.由0<x≤2时,f(x)=2
|x-1|-1
,即
,∴函数f(x)在(0,2]上的值域为[
,1],当且仅当x=2时,f(x)=1,又∵当x>2时,f(x)=
f(x-2),∴函数f(x)在(2,4]上的值域为[
],函数f(x)在(4,6]上的值域为[
],函数f(x)在(6,8]上的值域为[
],当且仅当x=8时,f(x)=
,函数f(x)在(8,10]上的值域为[
],当且仅当x=10时,f(x)=
,故f(x)<
在(8,10]上恒成立,g(x)=xf(x)-1在(8,10]上无零点,同理g(x)=xf(x)-1在(10,12]上无零点,依此类推,函数g(x)在(8,+∞)无零点,综上函数g(x)=xf(x)-1在[-6,+∞)上的所有零点之和为8,故选B
点评:此类问题综合了函数的奇偶性,函数的零点,函数的图象和性质,难度较大,故可以用归纳猜想的方法进行处理
举一反三
函数
。
(1) 判断并证明函数的奇偶性;
(2) 若
,证明函数在(2,+
)单调增;
(3) 对任意的
,
恒成立,求
的范围。
题型:解答题
难度:简单
|
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(本小题满分12分)已知函数
在
上是偶函数,其图象关于直线
对称,且在区间
上是单调函数,求
和
的值.
题型:解答题
难度:简单
|
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是定义在
上的偶函数且在
上递增,不等式
的解集为
题型:填空题
难度:简单
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若函数
的图像关于点
成中心对称,则函数
一定是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
题型:单选题
难度:简单
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(本题满分12分)
定义在
上的函数
满足:①对任意
都有
;
②
在
上是单调递增函数;③
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)证明
为奇函数;
(Ⅲ)解不等式
.
题型:解答题
难度:简单
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