判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·;(3);(4)
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判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·;(3);(4)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
判断下列函数的奇偶性:
(1)
f
(
x
)=|
x
+1|-|
x
-1|;(2)
f
(
x
)=(
x
-1)·
;
(3)
;(4)
答案
⑴奇函数,⑵既不是奇函数也不是偶函数,⑶奇函数,⑷奇函数
解析
判断函数的奇偶性应依照定义解决,但都要先考查函数的定义域。
(1)函数的定义域
x
∈(-∞,+∞),对称于原点.
∵
f
(-
x
)=|-
x
+1|-|-
x
-1|=|
x
-1|-|
x
+1|=-(|
x
+1|-|
x
-1|)=-
f
(
x
),
∴
f
(
x
)=|
x
+1|-|
x
-1|是奇函数.
(2)先确定函数的定义域.由
≥0,得-1≤
x
<1,其定义域不对称于原点,所以
f
(
x
)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)去掉绝对值符号,根据定义判断.
由
得
故
f
(
x
)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且有
x
+2>0.
从而有
f
(
x
)=
=
,∴
f
(-
x
)=
=-
=-
f
(
x
)
故
f
(
x
)为奇函数.
(4)∵函数
f
(
x
)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当
x
>0时,-
x
<0,
∴
f
(-
x
)=(-
x
)[1-(-
x
)]=-
x
(1+
x
)=-
f
(
x
)(
x
>0).
当
x
<0时,-
x
>0,∴
f
(-
x
)=-
x
(1-
x
)=-
f
(
x
)(
x
<0).
故函数
f
(
x
)为奇函数.
1函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则
时
) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件
2分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
题型2:证明抽象函数的奇偶性
举一反三
定义在区间
上的函数
f
(
x
)满足:对任意的
,
都有
. 求证
f
(
x
)为奇函数;
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数
为奇函数,则
___________。
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
是定义域为
的偶函数,则
的值是( )
A.0;
B.
;
C.1;
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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定义两种运算:
,
,则
是______________函数,(填奇、偶、非奇非偶,既奇又偶四个中的一个)
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数
(
a
、
b
、
c
∈Z)是奇函数,又
,
,求
a
、
b
、
c
的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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