若函数f(x)=(a-1ex-1)sinx是偶函数,则常数a等于______.

若函数f(x)=(a-1ex-1)sinx是偶函数,则常数a等于______.

题型:填空题难度:一般来源:不详
若函数f(x)=(a-
1
ex-1
)sinx
是偶函数,则常数a等于______.
答案
根据题意,设f(x)=g(x)sinx,其中g(x)=a-
1
ex-1

∵f(-x)=g(-x)sin(-x)=-g(-x)sinx=f(x)
∴g(-x)=-g(x),g(x)是一个奇函数,
再在上式中取x=1,得a-
1
e-1
+a-
1
e-1-1
=0

解之得a等于 -
1
2

故答案是-
1
2
举一反三
已知奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域都是(-∞,0)∪(0,+∞),且当x<0时,f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0.若g(-2)=0,则不等式f(x)g(x)>0的解集是______.
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已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是定义在[a-1,2a]的偶函数,则a+b=______.
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对于任意满足θ∈[0,
π
2
]
的θ,使得|sinθ-pcosθ-q|≤


2
-1
2
恒成立的所有实数对(p,q)是______.
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判断下列函数的奇偶性,并证明:
(1)f(x)=x+
1
x
(2)f(x)=x4-1.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
4x+a
1+x2
的单调递增区间为[m,n]
(1)求证f(m)f(n)=-4;
(2)当n-m取最小值时,点p(x1,y1),Q(x2,y2)(a<x1<x2<n),是函数f(x)图象上的两点,若存在x0使得f′(x0)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
,x求证x1<|x0|<x2
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