已知函数f(x)=ax+bx2+1在点M(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设函数g(x)=lnx,证明:g(x)≥f
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已知函数f(x)=ax+bx2+1在点M(1,f(1))处的切线方程为x-y-1=0.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)设函数g(x)=lnx,证明:g(x)≥f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
ax+b
x
2
+1
在点M(1,f(1))
处的切线方程为x-y-1=0.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=lnx,证明:g(x)≥f(x)对x∈[1,+∞)恒成立.
答案
(Ⅰ)将x=1代入切线方程x-y-1=0,得y=0,∴f(1)=0.
又
f(1)=
a+b
2
,化简得a+b=0.
f′(x)=
a(
x
2
+1)-(ax+b)•2x
(1+
x
2
)
2
,
f′(1)=
2a-2(a+b)
4
=
-2b
4
=
-b
2
=1
.
解得a=2,b=-2,
∴
f(x)=
2x-2
x
2
+1
.
(Ⅱ)证明:要证
lnx≥
2x-2
x
2
+1
在[1,+∞)上恒成立,
即证(x
2
+1)lnx≥2x-2在[1,+∞)上恒成立,
即证x
2
lnx+lnx-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.
设h(x)=x
2
lnx+lnx-2x+2,则
h′(x)=2xlnx+x+
1
x
-2
.
∵x≥1,∴
2xlnx≥0,x+
1
x
≥2
,即h"(x)≥0.
∴h(x)在[1,+∞)上x∈[1,+∞)单调递增,h(x)≥h(1)=0
∴g(x)≥f(x)在上恒成立.
举一反三
已知f(x)=-x
2
+a(5-a)x+b.
(1)若不等式f(x)>0的解集为(-1,7)时,求实数a,b的值;
(2)当a∈[-1,2)时,f(3)<0恒成立,求实数b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
lnx≤x
e
m
2
-m-1
对任意的正实数x恒成立,则m的取值范围是( )
A.(-∞,0]∪[1,+∞)
B.[0,1]
C.[e,2e]
D.(-∞,e)∪[2e,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x)=x
2
+ax+3
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;
(2)当x∈(-∞,1)时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数f(x)=2
x
+2
-x
的图象关于( )对称.
A.坐标原点
B.直线y=x
C.x轴
D.y轴
题型:单选题
难度:一般
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若(m+1)x
2
-(m-1)x+3(m-1)<0对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m>1
B.m<-1
C.
m<-
13
11
D.
m>1或m<-
13
11
题型:单选题
难度:简单
|
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