已知函数f(x)对于一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,则当x∈(0,12),不等式f(x)+2<logax恒成立
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已知函数f(x)对于一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,则当x∈(0,12),不等式f(x)+2<logax恒成立
题型:填空题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)对于一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,则当x∈(0,
1
2
),不等式f(x)+2<log
a
x恒成立时,实数a的取值范围是______.
答案
∵f(x)对于一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,
∴令y=0,x=1代入已知式子f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x,
得f(1)-f(0)=2,
∵f(1)=0,
∴f(0)=-2;
令y=0得f(x)+2=(x+1)x,
∴f(x)=x
2
+x-2.
当x∈(0,
1
2
),不等式f(x)+2<log
a
x恒成立时,
即x
2
+x<log
a
x恒成立,
设g(x)=x
2
+x,在(0,
1
2
)上是增函数,
∴0<g(x)
<
3
4
,
∴要使x
2
+x<log
a
x恒成立,
则log
a
x≥
3
4
在x∈(0,
1
2
)恒成立,
若a>1时,不成立.
若0<a<1,则有log
a
1
2
=
3
4
时,a=
3
4
4
,
∴要使log
a
x≥
3
4
在x∈(0,
1
2
)恒成立,
则
3
4
4
≤a<1,
故答案为:[
3
4
4
,1)
举一反三
已知函数f(x)=aln(x+1)-x
2
,若在区间(0,1)内任取两个不同实数m,n,不等式
f(m+1)-f(n+1)
m-n
<1恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数f(x)=
sinπx
(
x
2
+1)(
x
2
-2x+2)
.对于下列命题:
①函数f(x)是周期函数;②函数f(x)既有最大值又有最小值;
③函数f(x)的定义域是R,且其图象有对称轴;
④对于任意x∈(-1,0),f′(x)<0(f′(x)是函数f(x)的导函数).
其中真命题的序号是______.(填写出所有真命题的序号)
题型:填空题
难度:一般
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下列函数中既不是奇函数,又不是偶函数的是( )
A.y=2
|x|
B.
y=lg(x+
x
2
+1
)
C.y=2
x
+2
-x
D.
y=lg
1
x+1
题型:单选题
难度:一般
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设函数f(x)=log
a
丨x+b丨在定义域内具有奇偶性,f(b-2)与f(a+1)的大小关系是( )
A.f(b-2)=f(a+1)
B.f(b-2)>f(a+1)
C.f(b-2)<f(a+1)
D.不能确定
题型:单选题
难度:一般
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设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+3)f(x)=-1,f(-2)=1,则f(2012)=______.
题型:填空题
难度:一般
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