已知定义在R上的函数f（x）=2x+a2x，（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知定义在R上的函数f（x）=2^x+

，
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

答案

（1）若f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），
即2^-x+

2-x

=2^x+

，
∴2^-x+a•2^x=2^x+a•2^-x，
又对任意的x∈R都成立，
∴a=1．
（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则设0≤x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f(x1)-f(x2)=2x1+

2x1

-2x2-

2x2

=(2x1-2x2)(1-

2x1⋅2x2

)＜0，
∵0≤x₁＜x₂，
∴2x1-2x2＜0，
即1-

2x1⋅2x2

＞0，
∴a＜2x1⋅2x2=2x1+x2，
∵0≤x₁＜x₂，
∴2x1+x2＞1，
即a≤1．

举一反三

函数y=f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，若f（log₂x）＞f（1）则x的取值范围是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f（x）=1-

2ax+a

（a＞0且a≠1）是定义在（-1，1）上的奇函数．
（1）求a的值
（2）判断函数f（x）的单调性（不用证明），并解关于t的不等式f（1-t）+f（3-2t）＜0．

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设函数f（x）=

a2x-(t-1)

（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数
（1）求t的值；
（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx-x²）+f（x-1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；
（3）若函数f（x）的反函数过点(

，1)，是否存在正数m，且m≠1使函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1，log₂3]上的最大值为0，若存在求出m的值，若不存在请说明理由．

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定义域与值域相同的奇函数称为“八卦函数”，下列函数中是“八卦函数”的是（　　）

A．y=

2013x+2013-x

B．y=ln

2014-x

2014+x

C．y=x-

D．y=|x|

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=1-

3x+1

．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）用单调性定义证明：函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）解不等式：f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0．

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