(1)∵函数f(x)=(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数, ∴f(0)=0,即=0, ∴t=2; (2)由(1)可知,t=2, ∴f(x)=, ∵f(1)>0, ∴>0,即>0, 又∵a>0, ∴a>1, ∵f(x)为奇函数, ∴-f(x-1)=f(1-x), ∴不等式f(kx-x2)+f(x-1)<0对一切x∈R恒成立,即f(kx-x2)<f(1-x)对一切x∈R恒成立, ∵a>1,则y=ax在R上为单调递增函数, ∴f(x)==ax-在R上为单调递增函数, ∴kx-x2<1-x对一切x∈R恒成立,即x2-(k+1)x+1>0对一切x∈R恒成立, ∴△=(k+1)2-4<0,即k2+2k-3<0, ∴-3<k<1, ∴实数k的取值范围为-3<k<1; (3)假设存在正数m,且m≠1符合题意, ∵函数f(x)的反函数过点(,1), ∴=, ∴a=-或a=2, ∵a>0, ∴a=2, ∵g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)], ∴g(x)=logm[(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2], 令t=2x-2-x, ∴(2x-2-x)-m(2x-2-x)+2=t2-mt+2, ∵x∈[1,log23], ∴t∈[,], 记h(t)=t2-mt+2, ∵函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1,log23]上的最大值为0, ①当0<m<1时,y=logmh(t)是单调递减函数, ∴函数h(t)=t2-mt+2在[,]有最小值1, ∵对称轴t=<, ∴函数h(t)在[,]上单调递增, ∴h(t)min=h()=-m=1, ∴m=, ∵0<m<1, ∴m=不符合题意; ②当m>1时,则函数h(t)>0在[,]上恒成立,且最大值为1,最小值大于0, ∵函数h(t)=t2-mt+2在[,]有最大值1,h(t)的对称轴为x=, (i)当<,即m<时, 当t=时,h(t)取得最大值h()=-=1, ∴m=, 又∵=∈[,], ∴当t=时,h(t)取得最小值h()<0, ∴g(x)在[1,log23]无意义, ∴m=不符合题意; (ii)当≥,即m≥时, 当t=时,h(t)取得最大值h()=-=1, ∴m=, ∵m≥, ∴m=不符合题意. 综上所述,不存在正数m,使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0. |