偶函数f（x）在（-∞，0）上是增函数，问它在（0，+∞）是增函数还是减函数？能否用函数单调性的定义证明你的结论？

题型：解答题难度：一般来源：不详

答案

因为偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
且f（x）在（-∞，0）上是增函数，
故f（x）在（0，+∞）是减函数．
证明如下：若0＜x₁＜x₂＜+∞，那么-∞＜-x₂＜-x₁＜0．
由于偶函数在（-∞，0）上是增函数，故有：f（-x₂）＜f（-x₁）
又根据偶函数的性质可得：f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）
综上可得：f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是减函数

举一反三

已知最小正周期为2的函数y=f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则函数y=f（x）（x∈R）的图象与y=|log₅x|的图象的交点个数为______．

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已知偶函数f（x）在（-∞，0]上是增函数，且f（1）=0，则满足xf（x）＜0的x的取值的范围为（　　）

A．（-1，1）

B．[-1，1]

C．（-∞，-1）∪（0，1）

D．（-1，0）∪（1，+∞）

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若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）=lg（x+1），求f（x）的表达式，并画出示意图．

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已知函数f（x）为定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x，
（1）求出函数f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象．

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偶函数f（x）在区间[0，+∞）的图象如右，则函数f（x）的单调增区间为______．

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