已知函数f(x)=mx+n1+x2是定义在[-12,12]上是奇函数,且f(-14)=817(1)确定函数f(x)解析式(2)用定义证明函数f(x)在[12,1

已知函数f(x)=mx+n1+x2是定义在[-12,12]上是奇函数,且f(-14)=817(1)确定函数f(x)解析式(2)用定义证明函数f(x)在[12,1

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
mx+n
1+x2
是定义在[-
1
2
1
2
]上是奇函数,且f(-
1
4
)=
8
17

(1)确定函数f(x)解析式
(2)用定义证明函数f(x)在[
1
2
1
2
]上是减函数
(3)若实数t满足f(
t
3
)+f(t+1)<0,求t的取值范围.
答案
(1)∵函数f(x)=
mx+n
1+x2
为奇函数,
∴对于定义域内的任意实数x,都有f(-x)=-f(x)
-mx+n
1+x2
=-
mx+n
1+x2
,可得-mx+n=-mx-n,得n=0
∴f(x)=
mx
1+x2

∵f(-
1
4
)=
8
17
,∴
-
1
4
m
1+
1
16
=
8
17
,解之得m=-1
因此,函数f(x)解析式为f(x)=
-x
1+x2

(2)由(1)知,f(x)=
-x
1+x2

设x1、x2∈[-
1
2
1
2
],且x1<x2,可得
f(x1)-f(x2)=
-x1
1+x12
-
-x2
1+x22
=
(x1-x2)(x1x2-1)
(1+x12)(1+x22)

∵x1-x2<0,x1x2-1<0,(1+x12)(1+x22)>0
∴f(x1)-f(x2)>0,得f(x1)>f(x2
由此可得函数f(x)在[
1
2
1
2
]上是减函数;
(3)∵f(x)在[
1
2
1
2
]上是奇函数且是减函数
∴实数t满足f(
t
3
)+f(t+1)<0,即f(
t
3
)<-f(t+1)=f(-t-1)
可得-
1
2
<-t-1<
t
3
1
2
,解之得-
3
4
<t<-
1
2

即得实数t的范围为(-
4
3
,-
1
2
).
举一反三
已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=(  )
A.-1B.1C.-5D.5
题型:单选题难度:一般| 查看答案
对任意a∈[-2,3],不等式x2+(a-6)x+9-3a>0恒成立,则实数x的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,值域为[-2,3],则y=f(x)(x∈R)的值域为(  )
A.[-2,2]B.[-2,3]C.[-3,2]D.[-3,3]
题型:单选题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=-
x+a
bx+1
为区间[-1,1]上的奇函数,则它在这一区间上的最大值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,则不等式f(2x-1)<f(
1
3
)
的解集是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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