函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=2x2x+1.(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,1)上
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函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=2x2x+1.(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,1)上
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x∈(0,1)时,
f(x)=
2
x
2
x
+1
.
(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性并证明.
答案
(1)∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
∴f(-0)=-f(0),可得f(0)=0,
当x∈(-1,0)时,f(-x)=
2
-x
2
-x
+1
=
1
2
x
+1
=-f(x),
∴x∈(-1,0)时,f(x)=-
1
2
x
+1
综上所述,
f(x)=
f(x)=
2
x
2
x
+1
(0<x<1)
0(x=0)
f(x)=-
1
2
x
+1
(-1<x<0)
(2)∵当x∈(0,1)时,
f(x)=
2
x
2
x
+1
.
∴令0<x
1
<x
2
<1,可得f(x
1
)-f(x
2
)=
2
x
1
2
x
1
+1
-
2
x
2
2
x
2
+1
=
2
x
1
-2
x
2
(2
x
1
+1)
(2
x
2
+1)
∵
2
x
1
-
2
x
2
<0,
(2
x
1
+1)
(2
x
2
+1)
>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,可得f(x
1
)<f(x
2
)
由此可得,函数f(x)在(0,1)上的是单调增函数.
举一反三
关于曲线x
2
=siny,下列说法正确的是( )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.以上均不对
题型:单选题
难度:一般
|
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函数y=log
2
2-x
2+x
的图象( )
A.关于直线y=-x对称
B.关于原点对称
C.关于y轴对称
D.关于直线y=x对称
题型:单选题
难度:简单
|
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已知f(x)=a
x
+a
-x
(a>0且a≠1)
(Ⅰ)证明函数f(x)的图象关于y轴对称;
(Ⅱ)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(Ⅲ)当x∈[1,2]时函数f(x)的最大值为
5
2
,求此时a的值.
(Ⅳ)当x∈[-2,-1]时函数f(x)的最大值为
5
2
,求此时a的值.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数
f(x)=x+
1
x
.
(Ⅰ)求证函数f(x)为奇函数;
(Ⅱ)用定义证明:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)是偶函数,且它在[0,+∞)上是减函数,若f(lgx)>f(1),则x的取值围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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