(Ⅰ)证明:∵x∈R,f(-x)=a-x+ax=ax+a-x=f(x)…(3分) ∴函数f(x)是偶函数,∴函数f(x)的图象关于y轴对称…(4分) (Ⅱ)证明:设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ax1+a-x1-(ax2+a-x2) (1)当a>1时, 由0<x1<x2,则x1+x2>0,则ax1>0、ax2>0、ax1<ax2、ax1+x2>1 ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2); (2)当0<a<1时, 由0<x1<x2,则x1+x2>0,则ax1>0、ax2>0、ax1>ax2、0<ax1+x2<1; ∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2); 所以,对于任意a(a>0且a≠1),f(x)在(0,+∞)上都为增函数. (Ⅲ)由(Ⅱ)知f(x)在(0,+∞)上为增函数,则当x∈[1,2]时,函数f(x)亦为增函数; 由于函数f(x)的最大值为,则f(2)= 即a2+=,解得a=,或a= (Ⅳ)由(Ⅰ)(Ⅱ)证知f(x)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,则知f(x)在(-∞,0)上为减函数; 则当x∈[-2,-1]时,函数f(x)为减函数 由于函数f(x)的最大值为,则f(-2)= 即+a2=,解得a=,或a= |