已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)(Ⅰ)证明函数f(x)的图象关于y轴对称;(Ⅱ)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;(Ⅲ)当x∈

已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)(Ⅰ)证明函数f(x)的图象关于y轴对称;(Ⅱ)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;(Ⅲ)当x∈

题型:单选题难度:简单来源:不详
已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1)
(Ⅰ)证明函数f(x)的图象关于y轴对称;
(Ⅱ)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(Ⅲ)当x∈[1,2]时函数f(x)的最大值为
5
2
,求此时a的值.
(Ⅳ)当x∈[-2,-1]时函数f(x)的最大值为
5
2
,求此时a的值.
答案
(Ⅰ)证明:∵x∈R,f(-x)=a-x+ax=ax+a-x=f(x)…(3分)
∴函数f(x)是偶函数,∴函数f(x)的图象关于y轴对称…(4分)
(Ⅱ)证明:设0<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=ax1+a-x1-(ax2+a-x2)
(1)当a>1时,
由0<x1<x2,则x1+x2>0,则ax1>0ax2>0ax1ax2ax1+x2>1
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2);
(2)当0<a<1时,
由0<x1<x2,则x1+x2>0,则ax1>0ax2>0ax1ax20<ax1+x2<1
∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2);
所以,对于任意a(a>0且a≠1),f(x)在(0,+∞)上都为增函数.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知f(x)在(0,+∞)上为增函数,则当x∈[1,2]时,函数f(x)亦为增函数;
由于函数f(x)的最大值为
5
2
,则f(2)=
5
2

a2+
1
a2
=
5
2
,解得a=


2
,或a=


2
2

(Ⅳ)由(Ⅰ)(Ⅱ)证知f(x)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,则知f(x)在(-∞,0)上为减函数;
则当x∈[-2,-1]时,函数f(x)为减函数
由于函数f(x)的最大值为
5
2
,则f(-2)=
5
2

1
a2
+a2=
5
2
,解得a=


2
,或a=


2
2
举一反三
已知函数f(x)=x+
1
x

(Ⅰ)求证函数f(x)为奇函数;
(Ⅱ)用定义证明:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是偶函数,且它在[0,+∞)上是减函数,若f(lgx)>f(1),则x的取值围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设二次函数f(x)=ax2+bx+1(a、b∈R)
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求实数a、b的值;
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)在(1)的条件下,若f(x)≤m2-2am+2对所有x∈[-1,


2
-1],a∈[-1,1]
恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)
(  )
A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R
(1)讨论f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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