已知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R).(Ⅰ)当a=1时,解不等式f(x)>3;(Ⅱ)不等式f(x)≥1在区间(-∞,+∞)上恒成立,求实数a的取
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (Ⅰ)当a=1时,解不等式f(x)>3; (Ⅱ)不等式f(x)≥1在区间(-∞,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x-1|, ①当x≤1时,f(x)=2-x+2(1-x)=-3x+4, 由f(x)>3,得-3x+4>3,解得x<, ∴x<; ②1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x-1)=x, 由f(x)>3,得x>3, ∴此时不等式无解; ③当x>2时,f(x)=x-2+2(x-1)=3x-4, 由f(x)>3,得3x-4>3,解得x>, ∴x>; 综上,不等式f(x)>3的解集为(-∞,)∪(,+∞). (Ⅱ)f(x)≥1即|x-2|+2|x-a|≥1, 当|x-2|≥1,即x≤1或x≥3时,显然|x-2|+2|x-a|≥1对任意实数a恒成立; ∴丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对任意实数x恒成立,只须丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对x∈(1,3)恒成立. (1)若x∈(1,2]时,得2|x-a|≥x-1,即a≥,或a≤,x∈(1,2]恒成立,则a≥,或a≤1; (2)若当x∈(2,3)时,得2|x-a|≥3-x,即a≥,或a≤对x∈(2,3)恒成立,则a≥3,或a≤; 对(1)(2)中a的范围取交集,得a≤1或a≥3. |
举一反三
已知函数f(x)=x2-2|x|. (1)判断并证明函数的奇偶性; (2)依图象写出函数的单调区间,并对函数f(x)在(-1,0)上的单调性加以证明. |
f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(-3)>f(1),则下列各式一定成立的是( )A.f(0)<f(6) | B.f(3)>f(2) | C.f(-1)<f(3) | D.f(2)>f(0) |
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已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为( )A.f(1)>f(-10) | B.f(1)<f(-10) | C.f(1)=f(-10) | D.f(1)和f(-10)关系不定 |
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已知函数f(x)为奇函数,x>0时为增函数且f(2)=0,则{x|f(x-2)>0}=( )A.{x|0<x<2或x>4} | B.{x|x<0或x>4} | C.{x|x<0或x>6} | D.{x|x<-2或x>2} |
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