已知函数f(x)=x2-2|x|.(1)判断并证明函数的奇偶性;(2)依图象写出函数的单调区间,并对函数f(x)在(-1,0)上的单调性加以证明.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x2-2|x|. (1)判断并证明函数的奇偶性; (2)依图象写出函数的单调区间,并对函数f(x)在(-1,0)上的单调性加以证明. |
答案
(Ⅰ)函数是偶函数,定义域是R, ∵f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x), ∴函数f(x)是偶函数. (Ⅱ)画出函数f(x)=图象, 数形结合可得函数,如图: 单调递增区间为(-1,0),(1,+∞), 递减区间为(-∞,-1),(0,1). 证明:当x∈(-1,0)时,∵f(x)=x2+2x, 设-1<x1<x2<0,则x1-x2<0,且x1+x2>-2,即x1+x2+2>0, ∵f(x1)-f(x2)=(-)+2(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2+2)<0, ∴f(x1)<f(x2), 所以,函数f(x)在(-1,0)上是单调递增函数.
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举一反三
f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(-3)>f(1),则下列各式一定成立的是( )A.f(0)<f(6) | B.f(3)>f(2) | C.f(-1)<f(3) | D.f(2)>f(0) |
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已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则f(1)和f(-10)的大小关系为( )A.f(1)>f(-10) | B.f(1)<f(-10) | C.f(1)=f(-10) | D.f(1)和f(-10)关系不定 |
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已知函数f(x)为奇函数,x>0时为增函数且f(2)=0,则{x|f(x-2)>0}=( )A.{x|0<x<2或x>4} | B.{x|x<0或x>4} | C.{x|x<0或x>6} | D.{x|x<-2或x>2} |
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若奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,且f(1-m)+f(1-2m)<0,求实数m的取值范围. |
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