设函数f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R)(Ⅰ)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值;(Ⅱ)若不等式f(x)+f(-x)≥mt+m对任意x∈R

设函数f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R)(Ⅰ)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值;(Ⅱ)若不等式f(x)+f(-x)≥mt+m对任意x∈R

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R)
(Ⅰ)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值;
(Ⅱ)若不等式f(x)+f(-x)≥mt+m对任意x∈R,t∈[-2,1]恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(Ⅰ)由函数f(x)是定义在R上的偶函数,得f(x)=f(-x)恒成立,
log4(4x+1)+ax=log4(4-x+1)-ax
2ax=log4
4-x+1
4x+1
=log4
1
4x
=-x

∴(2a+1)x=0恒成立,则2a+1=0,故a=-
1
2

(Ⅱ)f(x)+f(-x)=log4(4x+1)+ax+log4(4-x+1)-ax=log4(4x+1)+log4(4-x+1)
=log4(4x+1)(4-x+1)=log4(2+4x+4-x)≥log4(2+2


4x×4-x
)=1

当且仅当x=0时取等号,
∴mt+m≤1对任意t∈[-2,1]恒成立,
令h(t)=mt+m,





h(-2)=-2m+m≤1
h(1)=m+m≤1
,解得-1≤m≤
1
2

故实数m的取值范围是[-1,
1
2
]
举一反三
已知函数g(x)=logax,其中a>1.
(Ⅰ)当x∈[0,1]时,g(ax+2)>1恒成立,求a的取值范围;
(Ⅱ)设m(x)是定义在[s,t]上的函数,在(s,t)内任取n-1个数x1,x2,…,xn-2,xn-1,设x1<x2<…<xn-2<xn-1,令s=x0,t=xn,如果存在一个常数M>0,使得
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|≤M
恒成立,则称函数m(x)在区间[s,t]上的具有性质P.
试判断函数f(x)=|g(x)|在区间[
1
a
a2]
上是否具有性质P?若具有性质P,请求出M的最小值;若不具有性质P,请说明理由.
(注:
n
i=1
|m(xi)-m(xi-1)|=|m(x1)-m(x0)|+|m(x2)-m(x1)|+…+|m(xn)-m(xn-1)|
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+(x-1)|x-a|.
(1)若a=-1,解方程f(x)=1;
(2)若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使得g(x)=f(x)-x|x|在R上是奇函数或是偶函数?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)为奇函数,函数f(x+3)关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小正周期为(  )
A.4B.8C.12D.16
题型:单选题难度:一般| 查看答案
判断奇偶性,函数y=x-
2
3
,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)是函数______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=(1-m)x2-2mx-5是偶函数,则f(x)在R上(  )
A.先减后增B.先增后减C.单调递增D.单调递减
题型:单选题难度:一般| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.