(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x0处连续的定义;(2)试证明:若f(x)在点x=x0处连续,且f(x0)>0,则存在一个x0的(x0-δ,x0+
题型:解答题难度:一般来源:北京
(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点x=x0处连续的定义; (2)试证明:若f(x)在点x=x0处连续,且f(x0)>0,则存在一个x0的(x0-δ,x0+δ),在这个邻域内,处处有f(x)>0. |
答案
(1)若对于任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得当|x-x0|<δ时, 总有|f(x)-f(x0)|<ε,则称函数f(x)在点x0处连续; (2)证:由已知f(x)在点x=x0处连续, 且f(x0)>0, 所以,由定义,对于给定的ε=>0, 必存在δ>0,当|x-x0|<δ时, 有|f(x)-f(x0)|<, 从而f(x)>f(x0)-=>0 即在(x0-δ,x0+δ)内处处有f(x)>0. |
举一反三
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)及f(1)的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若f(2)=2,un=f(2n) | 2n | 定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.如果f(x)=lg(10x+1),x∈(-∞,+∞),那么( )A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10x+2) | B.g(x)=[lg(10x+1)+x]h(x)=[lg(10x+1)-x] | C.g(x)=,h(x)=lg(10x+1)- | D.g(x)=-,h(x)=lg(10x+1)+ |
| 不等式x|x-2|+2m-1<0对x∈(-∞,3)恒成立,则m的取值范围是 ______ | 在直角坐标系中,函数y=x2-3|x|+1的图象关于 ______对称. | 已知f(x)=tx2+x+2m-n是偶函数,其定义域为[2n,1-n],则点(m,n)的轨迹是( )A.一条直线 | B.一条圆锥曲线 | C.一条线段 | D.一个点 |
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