已知f(x)是定义在R上的函数,若对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),且函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(1)=2,则f(2011
题型:单选题难度:一般来源:安徽模拟
已知f(x)是定义在R上的函数,若对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2),且函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(1)=2,则f(2011)等于( ) |
答案
因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称, 所以函数f(x)的图象关于直线x=0对称,即函数f(x)是偶函数,故有f(-x)=f(x). ∵对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+2f(2), ∴f(-2+4)=f(-2)+2f(2)⇒f(-2)+f(2)=0⇒2f(2)=0⇒f(2)=0 ∴f(x+4)=f(x)+2f(2)=f(x).即函数周期为4. ∴f(2011)=f(4×502+3)=f(3)=f(-1)=f(1)=2. 故选A. |
举一反三
设m、n为正整数,且m≠2,二次函数y=x2+(3-mt)x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为的d1,二次函数y=-x2+(2t-n)x+2nt的图象与x轴的两个交点间的距离为d2,如果d1≥d2对一切实数t恒成立,求m、n的值. |
若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.有下列函数: ①f(x)=;②f(x)=2x; ③f(x)=lg(x2+2); ④f(x)=cosπx, 其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为______. |
(文) 若实数x满足对任意正数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是______. |
已知函数f(x)=3x2-2x+1,g(x)=ax2,对任意的正实数x,f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是______. |
设函数f(x)在定义域R内恒有f(-x)+f(x)=0,当x≤0时,f(x)=+a,则f(1)=______. |
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