已知二次函数f(x)=x2-ax+c,(其中c>0).(1)若函数f(x)为偶函数,求a的值;(2)当f(x)为偶函数时,若函数g(x)=f(x)x,指出g(x

已知二次函数f(x)=x2-ax+c,(其中c>0).(1)若函数f(x)为偶函数,求a的值;(2)当f(x)为偶函数时,若函数g(x)=f(x)x,指出g(x

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知二次函数f(x)=x2-ax+c,(其中c>0).
(1)若函数f(x)为偶函数,求a的值;
(2)当f(x)为偶函数时,若函数g(x)=
f(x)
x
,指出g(x)在(0,+∞)上单调性情况,并证明之.
答案
(1)f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),…(2分)
即(-x)2+ax+c=x2-ax+c,
即2ax=0恒成立                         …(3分)
∴a=0                                                                           …(4分)
(2)由(1),若f(x)为偶函数,则a=0,
g(x)=
f(x)
x
=
x2+c
x
=x+
c
x
,x∈(0,+∞)
当x∈(0,+∞)时,g(x)在x∈(0,


c
)上单调递减,在x∈(


c
,+∞)上单调递增,证明如下:…(5分)
设任意x1,x2∈(0,


c
),且x1<x2
g(x1)-g(x2)=(x1+
c
x1
)-(x2+
c
x2
)=(x1-x2)+(
c
x1
-
c
x2
)=(x1-x2(
x1x2-c
x1x2
)
         …(7分)
∵x1,x2∈(0,


c
),且x1<x2
∴x1-x2<0,x1•x2<c
即x1•x2-c<0
∴(x1-x2(
x1x2-c
x1x2
)
>0,
即g(x1)-g(x2)>0
即g(x1)>g(x2
∴g(x)在(0,


c
)上单调递减                                                       …(9分)
同理,可得g(x)在(


c
,+∞)上单调递增                                             …(10分)
举一反三
已知函数f(x)=
1
2x-1
+a是奇函数.(1)求常数a的值;(2)判断f(x)的单调性并给出证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数m(x)=log4(4x+1),n(x)=kx(k∈R).
(1)当x>0时,F(x)=m(x),且F(x)为R上的奇函数.求x<0时,F(x)的表达式;
(2)若f(x)=m(x)+n(x)为偶函数,求k的值;
(3)对(2)中的函数f(x),设g(x)=log4(2x-1-
4
3
a)
,若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)在(-∞,2]为增函数,且f(x+2)是R上的偶函数,若f(a)≤f(3),则实数a的取值范围是(  )
A.a≤1B.a≥3C.1≤a≤3D.a≤1或a≥3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在R上的函数,有下列三个性质:
①函数f(x)图象的对称轴是x=2
②在(-∞,0)上f(x)单增  
③f(x)有最大值4
请写出上述三个性质都满足的一个函数f(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数f(x)=1+2mx+(m2-1)x2是偶函数,则m=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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