已知函数f(x)=sin(x+a)+3cos(x-a),其中0≤a<π,且对于任意实数x,f(x)=f(-x)恒成立.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的最大
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已知函数f(x)=sin(x+a)+3cos(x-a),其中0≤a<π,且对于任意实数x,f(x)=f(-x)恒成立.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的最大
题型:解答题
难度:一般
来源:聊城一模
已知函数f(x)=sin(x+a)+
3
cos(x-a),其中0≤a<π,且对于任意实数x,f(x)=f(-x)恒成立.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的最大值和单调递增区间.
答案
(1)由已知得f(x)=f(-x)
即sin(x+a)+
3
cos(x-a)=sin(-x+a)+
3
cos(-x-a)
所以cosa+
3
sina=0,于是tana=-
3
3
又因为0<a<π
∴a=
5π
6
(2)由(1)可知f(x)=sin(x+
5π
6
)+
3
cos(x-
5π
6
)=sinxcos
5π
6
+cosxsin
5π
6
+
3
cosxcos
5π
6
+
3
sinxsin
5π
6
=-cosx
由此可知,函数f(x)的最大值为1.
单调递增区间为:[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
举一反三
已知函数f(x)的定义域为R,对任意x
1
,x
2
都满足f(x
1
+x
2
)=f(x
1
)+f(x
2
),当x>0时f(x)>0.
(1)试判断f(x)的奇偶性和单调性;
(2)当
θ∈[0,
π
2
]
时,f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>0对所有的θ均成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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设函数f(x)=(x
2
+1)(x+a)为奇函数,则a=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R是常数.
(1)若a=1,求y=f(x)在点P(-1,f(-1))处的切线;
(2)是否存在常数a,使f(x)<2x+1对任意x∈(-∞,2)恒成立?若存在,求常数a的取值范围;若不存在,简要说明理由.
题型:解答题
难度:一般
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已知A(1,f"(1))是函数y=f(x)的导函数图象上的一点,点B为(x,ln(x+1)),向量
a
=(1,1)
,令
f(x)=
AB
•
a
.
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)若x>0,证明:
f(x)>
2
x
2
+3x-10
2(x+2)
;
(3)若x∈[-1,1]时,不等式
1
2
x
2
≤f(
x
2
)+
m
2
-
9
2
m-3
都恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
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已知函数f(x)=x|x|+px+q(x∈R),给出下列四个命题:①f(x)为奇函数的充要条件是q=0;②f(x)的图象关于点(0,q)对称;③当p=0时,方程f(x)=0的解集一定非空;④方程f(x)=0的解的个数一定不超过两个.
其中所有正确命题的序号是______.
题型:填空题
难度:一般
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